Decomposição em frações parciais

Em álgebra, Decomposição em frações parciais ou Expansão em frações parciais é um método que permite decompor expressões racionais, isto é, quocientes de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais. É um recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace.

Dada uma função racional $R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$, em que ${P(x)}$ e ${Q(x)}$ são polinômios tais que o grau de Q seja maior que o grau de P, têm-se que:

1) Decomposição de fator linear $x-a$ com multiplicidade n.

$R(x)={\frac {P(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {A_{1}}{(x-a)}}+{\frac {A_{2}}{(x-a)^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x-a)^{n}}}$

Exemplo:

${\textstyle R(x)=\left({\frac {x+1}{x*(x+2)^{2}}}\right)=\left({\frac {A}{x}}\right)+\left({\frac {B}{x+2}}\right)+\left({\frac {C}{(x+2)^{2}}}\right)}$

Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis.

$=\left({\frac {A(x+2)^{2}+Bx(x+2)+Cx}{x(x+2)^{2}}}\right)=\left({\frac {(Ax^{2}+4Ax+4A)+(Bx^{2}+2Bx)+Cx}{x(x+2)^{2}}}\right)$

Rearrumando os termos do numerador:

$=\left({\frac {x^{2}(A+B)+x(4A+2B+C)+4A}{x(x+2)^{2}}}\right)$

A fim de criar um sistema envolvendo os coeficientes das potências de $x$ e o numerador original, reagrupamos os termos.

${\begin{cases}A+B=0\\4A+2B+C=1\\4A=1\end{cases}}$

Resolvendo o sistema, temos que A= 1/4 B= -1/4 e C= 1/2

Portanto a nova fração é dada por:

${\textstyle \left({\frac {1}{4x}}\right)-\left({\frac {1}{4(x+2)}}\right)+\left({\frac {1}{2(x+2)^{2}}}\right)}$

2) Decomposição de um fator quadrático irredutível $(x-a)^{2}+b^{2}$ com multiplicidade n:

$R(x)={\frac {P(x)}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}={\frac {A_{1}*x+B_{1}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]}}+{\frac {A_{2}*x+B_{2}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{2}}}+...+{\frac {A_{n}*x+B_{n}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}$

3) Podemos também decompor frações em denominadores simples, primos e irredutíveis:

Exemplo:

$\left({\frac {1}{18}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)-\left({\frac {1}{3}}\right)-\left({\frac {1}{3^{2}}}\right)$

4) Outra técnica utilizada é a técnica dos limites ou método de Heaviside:

Exemplo:

$R(x)=\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x+2)(x-2)}}\right)$

Podemos reescrever a fração como;

$\left({\frac {A}{x+3}}\right)+\left({\frac {B}{x-2}}\right)+\left({\frac {C}{x+2}}\right)$

Agora usamos os limites para determinar os coeficientes.

$A=\lim _{x\to -3}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x-2)(x+2)}}\right)=\left({\frac {9-9-4}{(-5)(-1)}}\right)=-\left({\frac {4}{5}}\right)$

$B=\lim _{x\to 2}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x+2)}}\right)=\left({\frac {4+6-4}{(5)(4)}}\right)=\left({\frac {3}{10}}\right)$

$C=\lim _{x\to -2}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x-2)}}\right)=\left({\frac {4-6-4}{(1)(-4)}}\right)=\left({\frac {3}{2}}\right)$

Logo a nova expressão é dada por:

$-\left({\frac {4}{5(x+3)}}\right)+\left({\frac {3}{10(x-2)}}\right)+\left({\frac {3}{2(x+2)}}\right)$

Frações parciais em Laplace

Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com um polinômio de alto grau não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o polinômio de uma maneira em que ele tenha apenas um grau ou dois, sendo fácil, então, determinar sua transformada inversa.

Por exemplo:

Sendo $F(s)={\frac {1}{(s-1)(s^{2}+1)}}$

Utilizando frações parciais podemos escrevê-la como $F(s)={\frac {A}{(s-1)}}+{\frac {B+Cs}{(s^{2}+1)}}$

e então como

$F(s)={\frac {A(s^{2}+1)+(B+Cs)(s-1)}{(s-1)(s^{2}+1)}}$

Chegando, então, ao seguinte sistema:

${\begin{cases}\ A+C=0\\B-C=0\\\ A-B=1\end{cases}}\ \ {\begin{aligned}&\ \\&\ \\&\ \end{aligned}}\ \ \$

Ao resolvê-lo, chegamos em $A={\frac {1}{2}}$ e $B=C=-{\frac {1}{2}}$

Dessa forma, $F(s)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{(s-1)}}-{\frac {s+1}{(s^{2}+1)}}\right)$ que é equivalente à $F(s)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{(s-1)}}-{\frac {s}{(s^{2}+1)}}-{\frac {1}{(s^{2}+1)}}\right)$

Com isso, ao utilizarmos frações parciais, chegamos em uma expressão que contém apenas transformadas inversas conhecidas e tabeladas, podendo ser facilmente determinada:

$f(t)={\frac {1}{2}}(e^{t}-\cos(t)-sen(t))$